§ 2.3. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції

Якщо функція диференційована при , то в точці існує дотична до графіка функції і її рівняння визначається за формулою

. (3.1)

Рівняння нормалі до кривої в точці , при умові, що , має вигляд

. (3.2)

Якщо , то дотична паралельна осі Ох, а нормаль – осі Оу. У цьому випадку рівняння дотичної має вигляд , а рівняння нормалі визначається за формулою .

Приклад 1. Записати рівняння дотичної і нормалі до графіка функції в точці .

Розв’язання. Обчислюємо всі необхідні значення:

; ; .

Використовуючи формулу (3.1), отримуємо рівняння дотичної

або .

Застосовуючи формулу (3.2), дістаємо рівняння нормалі

або .

§ 2.4. Обчислення найбільшого і найменшого значень функції на відрізку

Критичними точками функції називаються точки, в яких її перша похідна дорівнює нулю або не існує. Точки, в яких перша похідна функції дорівнює нулю називаються стаціонарними.

Якщо функція визначена і неперервна на відрізку , то найбільше і найменше значення (вони обов’язково існують) вона приймає на кінцях відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку. Звідси випливає, що знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку може здійснюватися за наступною схемою:

1) визначаємо критичні точки;

2) обчислюємо значення функції на кінцях відрізку і в критичних точках, які належать відрізку;

3) порівнюючи отримані значення, вибираємо найбільше і найменше з них.

Приклад 1. Знайти найбільше і найменше значення функцій на вказаних відрізках:

а) , ; б) , .

Розв’язання. а) Знаходимо першу похідну і визначаємо критичні точки:

; , , .

Так як функція диференційована на всій числовій прямій, то інших критичних точок не існує. Відрізку належить тільки точка . Обчислюємо значення функції на кінцях відрізку і в точці :

, , .

Порівнюючи між собою здобуті числа, маємо: , .

б) Аналогічно попередньому, можемо записати:

, , , ;

, , ;

; .

Відзначимо, що в точці похідна не існує, але вказана точка не належить вказаному інтервалу, більш того, вона не належить області визначення заданої функції.

§2.5. Дослідження функції на зростання, спадання і точки екстремуму

Нехай функція визначена і неперервна на інтервалі і нехай х₁, х₂ – дві довільні точки з цього інтервалу, причому . Якщо для вказаних точок виконується нерівність ( ), то кажуть, що функція зростає (не спадає) на інтервалі . Якщо ж для вказаних точок виконується нерівність ( ), то кажуть, що функція спадає (не зростає) на інтервалі .

Інтервали зростання і спадання функції (інтервали монотонності) визначаються за допомогою першої похідної. Якщо для будь-якого х з інтервалу , то функція на вказаному інтервалі зростає; якщо ж , то функція спадає.

Точка х₀ називається точкою локального мінімуму функції , якщо для будь-якого х з деякого околу цієї точки виконується нерівність . Якщо ж , то точка х₀ називається точкою локального максимуму.

Мінімум або максимум (тут і надалі мова іде про локальний мінімум і локальний максимум) функції будемо називати її екстремумом, а точку х₀, в якій функція має екстремум – точкою екстремуму.

Необхідна умова екстремуму функції: якщо функція має екстремум в точці х₀, то у цій точці перша похідна дорівнює нулю або не існує, тобто х₀ – критична точка.

Достатні умови екстремуму функції: критична точка х₀ є точкою максимуму, якщо при переході через цю точку (зліва направо) перша похідна змінює знак з «+» на «-»; якщо ж знак змінюється з «-» на «+», то точка х₀ є точкою мінімуму (якщо знак не міняється, то екстремуму немає).

Дослідження функції на зростання, спадання і точки екстремуму будемо здійснювати за наступною схемою:

1. знаходимо область визначення функції;

2. знаходимо критичні точки;

3. на числовій прямій відмічаємо всі критичні точки і точки, в яких функція невизначена (точки розриву);

4. визначаємо знак першої похідної на кожному із отриманих інтервалів області визначення функції (для цього достатньо обчислити значення похідної в одній точці даного інтервалу);

5. використовуючи відповідні умови, визначаємо інтервали зростання, спадання і точки екстремуму (при необхідності обчислюємо і самі екстремуми).

Приклад 1. Знайти проміжки зростання, спадання і точки екстремуму функцій:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. а)Функція визначена на всій числовій прямій окрім точки . Область визначення функції будемо позначати через . Таким чином . Знайдемо критичні точки:

; ; ; .

В ідзначимо, що в точці похідна не існує, але ця точка є точкою розриву і не може бути точкою екстремуму функції. На числовій прямій відмічаємо критичні точки, точки розриву і визначаємо знак першої похідної на отриманих проміжках (рис.2).

Маємо: функція спадає на інтервалах і ; функція зростає на інтервалах і ; в точці функція має локальний мінімум ; точка також є точкою мінімуму .

б) Функція визначена на всій числовій прямій, тобто . Знайдемо похідну:

.

В точці похідна не існує. Вказана точка належить області визначення функції. Отже – критична точка. Визначаємо інтервали монотонності та точки екстремуму (рис. 3).

На інтервалі функція спадає; на інтервалі функція зростає; – точка локального мінімуму .

в) Аналогічно попередньому дістаємо (Рис. 4): ;

; ; – критична точка.

Функція спадає на інтервалі ; функція зростає на інтервалі ; – точка мінімуму . Відзначимо, що – кутова точка.